La Circunferencia


La circunferencia como caso particular de la elipse

En la Figura 1 se observa una elipse de distancia focal 2c, y constante 2a. Si hacemos que los focos F y F', se vayan acercando cada vez más, hasta coincidir en el centro O, entonces c tiende a 0. En este caso, para que un punto P esté en la elipse habrá de ser PO + PO = 2a ==> PO = a. Es decir, si coinciden los focos, un punto está en la elipse, si y solo si, su distancia al centro es a: la elipse se convierte en circunferencia de radio a.

Excentricidad de la circunferencia

Cuando los focos de la elipse coinciden en el centro, se convierte en una circunferencia (Figura 2)

Figura 1

Figura 2

De esta forma, las propiedades que hemos encontrado para el elipse se pueden trasladar a la circunferencia. Si la excentricidad de la elipse era e = c/a, la de la circunferencia será e = 0/ a = 0. Es decir: la circunferencia es una cónica de excentricidad e = 0.

Tangente y normal en un punto de la circunferencia

Recordemos que "la bisectriz del ángulo exterior que forman los radio-vectores de un punto P cualquiera de una elipse es tangente a la elipse"

 

Al hacer que los dos focos coincidan, el ángulo que forman ambos radio-vectores será de 180º, y podemos concluir que

La recta perpendicular en un punto P de la circunferencia, al segmento que une P con el centro de la circunferencia, es tangente a la circunferencia

Recordemos que la tangente a la elipse en un punto es bisectriz de los ángulos que forman cada radio vector, con la prolongación del otro. Al aplicar esto a una elipse en la que los focos coinciden, concluimos que

La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio del punto de tangencia

Para la elipse sabemos que la normal en un punto P es bisectriz del ángulo que forman los radio vectores. Por ello, si los focos coinciden, concluimos que

La normal a un circunferencia, en un punto P, pasa por el centro

Otras propiedades de la circunferencia

Circunferencia que pasa por tres puntos: circuncentro del triángulo

Dados tres puntos no alineados, ¿cómo se puede obtener la circunferencia que pasa por ellos?

Solución: el centro de la circunferencia, es un punto que equidista de los tres puntos. La mediatriz de un segmento es el conjunto de los puntos que equidistan de los extremos del segmento. Por ello, para obtener el centro de la circunferencia nos basta obtener el punto de corte de las tres mediatrices.

Ángulos inscritos en una circunferencia

Un ángulo inscrito en una circunferencia, es aquel que tiene el vértice sobre la circunferencia, de forma que sus dos lados son secantes a la circunferencia.

En la Figura1 se observa un ángulo, inscrito en una circunferencia. Nos plantemos averiguar cuál es valor de dicho ángulo, en relación al arco BC que determina sobre la circunferencia.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Vamos a trazar por A el diámetro AD, que lógicamente ha de pasar por el centro de la circunferencia, que designaremos por O. Dicho diámetro divide al ángulo A en dos partes, que llamaremos g y d. Unimos los puntos B y C con el centro de la circunferencia; en consecuencia BO = OC = R, siendo R el radio de la circunferencia. (Figura 2). Como consecuencia, tendremos que a = g + d

Además el triángulo ABO, es isósceles puesto que los lados OB y OA son iguales, por ser ambos el radio de la circunferencia. Por lo tanto ang(B) = g. Sabemos además que los tres ángulos de un triángulo suman 180°, por lo que tendremos:

ang(BOA) + 2g = 180° (1)

Por otro lado las ángulos BOA y BOD son suplementarios, por lo que ang(BOA) + ang(BOD) = 180° ==> ang(BOA) =180° - ang(BOD)

Sustituyendo esta relación en (1), tendremos: 180 - ang(BOD)+ 2g = 180 ==> Ang(BOD)= 2g

Razonando de igual forma sobre el triángulo AOC , se concluye que ang(DOC) = 2d

Llegamos por tanto a la siguiente conclusión: ang(BOC) = 2g + 2d = 2( g + d) = 2a (Figura 2)

Este resultado se puede expresar de la siguiente forma: un ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del arco que abarca.

Como consecuencia, si dos ángulos inscritos en una circunferencia abarcan el mismo ángulo, son iguales. Ello significa que los ángulos A y A' de la Figura 3 son iguales, porque abarcan el mismo arco BC.

Este teorema es cierto incluso cuando una de las semirectas es diametral (pasa por el centro, Figura 4), y cuando las dos semirectas está al mismo lado del centro (Figura 5). Las demostraciones para estos dos casos no son complicadas y se pueden obtener con facilidad

Figura 4

Figura 5

Potencia de un punto respecto a una circunferencia

Considera la circunferencia de centro C de la figura.

En ella se han trazado dos secantes que cortan a la circunferencia en los puntos A1, A2, B1, B2. Los triángulos PB1A2 y PB2A1 son semejantes ya que

  • Tienen el ángulo P en común
  • Los ángulos A1 y A2 son iguales por ser ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco

Por tanto, los lados de los dos triángulos son proporcionales, y podremos poner: PA1 / PA2 = PB2 /PB1 ==> PA1 . PB1 = PA2 . PB2

Observamos que con cualquier otra recta secante, sería posible razonar de igual manera. Ello nos permite sacar la siguiente conclusión: si por el punto P trazamos una recta secante que corte a la circunferencia en los puntos A y B, entonces PA · PB es constante independientemente de la secante trazada. Por definición a dicho producto se le llama potencia de P respecto a la circunferencia C. Es decir: Potc(P) = PA · PB

Significado de la potencia de un punto respecto a una circunferencia.


Vamos a ver que la potencia de un punto respecto a una circunferencia nos permite conocer la posición relativa del punto respecto a la circunferencia. Es decir: nos a va a permitir saber si el punto es interior a la circunferencia, exterior a ella, o está sobre ella.

a) Supongamos que el punto P es exterior a la circunferencia. Observa la Figura-6. En ella ve que Potc(P) = PA · PB. Al tomar P como origen de medida, PA y PB tienen el mismo signo, por lo que si P es exterior a la circunferencia Potc(P) > 0


b) Supongamos que el punto P es interior a la circunferencia. Se observa en la Figura-8 que Potc(P) = PA · PB, y que al tomar P como origen de medida, PA y PB tienen distinto signo, por lo que si P es interior a la circunferencia Potc(P) < 0


c) Si el punto P está en la circunferencia (Figura-7), entonces d = r, por lo que Potc(P) = PA · PB = 0. Es decir si P está en la circunferencia Potc(P) = 0

Figura 6

Figura 7

Figura 8

Longitud de la tangente a una circunferencia desde un punto exterior

En función de la potencia de un punto respecto a una circunferencia, podemos obtener la longitud de la tangente mediante el siguiente teorema: se cumple que Potc(P) = PT2

La demostración es similar a la que hemos visto antes, pero en este caso se puede obtener un acercamiento de la siguiente manera: al hacer que la secante tienda a la tangente, observamos que: Potc(P) = PA · PB = PA' · PB' = PA'' · PB'' = ... = PT · PT = PT2

Otra expresión de la potencia

La potencia de un punto respecto a una circunferencia es igual al cuadrado de la distancia punto-centro menos el cuadrado del radio

Según acabamos de ver Potc(P) = PA · PB = PA' · PB' = ( d - r ) · (d + r) = d2 - r2. Esta relación es válida cuando P está en la circunferencia y cuando P es interior a la circunferencia, lo que confirma, de otra forma, que

  • Si P es interior a la circunferencia Potc(P) < 0 ya que d2 - r2 < 0
  • Si P está en la circunferencia Potc(P) = 0 ya que d2 - r2 = 0
  • Si P es exterior a la circunferencia Potc(P) > 0 ya que d2 - r2 > 0

La esfera y el toro

La esfera se obtiene al hacer girar una circunferencia alrededor de uno cualquiera de sus diámetros.

Pero si la recta es exterior a la circunferemncia se obtiene una figura llamada toro (en lenguaje de andar por casa, donut). El agujero del donut, será mayor o menor dependiendo de la distancia de la circunferencia a la recta de giro. La siguiente animación permite observar la formación del toro (necesitas tener instalado Flash Player en tu navegador)

 

Aquí tienes una forma de calcular el volumen del toro