La Elipse


La elipse como lugar geométrico

En el apartado Secciones cónicas hemos visto que la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, y que denotaremos F y F' es constante. Es decir:

P es un punto de la elipse si y sólo si PF+PF' es constante

Elementos fundamentales de la elipse

Relación entre los elementos de la elipse

Sabemos que todo punto de la elipse cumple que la suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Si llamamos k a dicha constante tendremos:

Restando término a término estas dos últimas igualdades obtenemos: AF = A'F' Lo que significa que los focos distan lo mismo de sus respectivos vértices.

Si llamamos "a" a la distancia desde el centro de la elipse al vértice A (o lo que es lo mismo, a la distancia desde el centro al vértice A') tendremos:

AF+AF' = AF + AF + FF' = AF + A'F' + FF' = AA' = 2a

De esta forma llegamos a la conclusión de que k = 2a. Es decir:

El punto P está en la elipse si y sólo si PF + PF' = 2a

siendo "a" la distancia desde A (ó A') al centro de la elipse

PF+PF' > FF' ==> 2a > 2c ==> a > c

Por otro lado el triángulo BOF es rectángulo en O. Por lo tanto: BO2+OF2 = BF2 ==> b2 + c2 = a2. El triángulo BOF recibe el nombre de triángulo fundamental de la elipse.

Excentricidad de la elipse

Se define la excentricidad de la elipse de la siguiente forma: e = c/a . Como a > c, se tendrá que e < 1, para la elipse. Como tanto a como c son número positivos, podemos entonces concluir que la elipse es una cónica cuya excentricidad está entre 0 y 1.

Tangente y normal en un punto de la elipse

Demostraremos dos propiedades importantes de la tangente y la normal a la elipse en un punto P de la misma

La bisectriz del ángulo exterior que forman los radio-vectores de un punto P cualquiera de una elipse es tangente a la elipse

Figura 1

Veamos: sean los radio-vectores del punto P los segmentos PF y PF' (Figura 1). Sea t la bisectriz del ángulo SPF. Sea S el simétrico de F respecto a t, que deberá estar sobre la recta que une F' y P. Para demostrar que la recta t es tangente a la elipse nos basta demostrar que la recta y la elipse sólo tienen en común el punto P. Es decir, que cualquier otro punto de t no puede estar en la elipse.

  • Sea P' un punto de t diferente de P. Vamos a demostrar que P' no está en la elipse

    P'F'+P'F = P'F'+P'S > F'S = F'P + PS = F'P + PF = 2a

  • Por tanto, P'F'+P'F > 2a ==> P' no está en la elipse. Queda demostrado, por tanto, que la bisectriz del ángulo SPF es tangente a la elipse

Inversamente: vamos a demostrar que la tangente a la elipse en un punto es bisectriz de los ángulos que forman cada radio vector, con la prolongación del otro

Considera la Figura 2. Los puntos S y S' son los simétricos de los focos respecto a la tangente. Demostraremos que los puntos F', P y S están alineados, y que los puntos F, P y S' también lo están. Haremos la demostración en el primer caso, ya que el segundo es semejante

Figura 2

Figura 3

Supongamos que no lo están. Entonces se produciría alguna de las dos situaciones que se observan en la Figura 3. Por ejemplo que el simétrico de F respecto a t es S'' (distinto de S). Entonces F'P + PF = F'P + PS > F'P + PS'' = 2a, lo cual es absurdo ya que P es de la elipse, ha de ser F'P + PF = 2a

La normal en un punto P es bisectriz del ángulo que forman los radio vectores

Figura 4

La normal es la recta perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Los ángulos a son iguales puesto que la tangente es bisectriz de los ángulos APF y A'PF', y además son opuestos por el vértice dos a dos Luego los ángulos NPA' y NPA cada uno mide 90 - a, ya que la recta N y la t son perpendiculares. Por opuestos por el vértice N'PF' y N'PF cada uno mide 90 - a, y en consecuencia son iguales

¿De qué forma podemos usar esta propiedad de la elipse?

La concha del apuntador en algunos teatros solía tener forma elíptica. El apuntador se coloca en uno de los focos. La persona que quiere escuchar se coloca en el otro foco: en él se recibe muy bien el sonido. Fuera de él se recibe mal. ¿Por qué? Porque todo "rayo" (lumínico o ´sónico) que parta de un foco, se refleja en la superficie elíptica y se dirige al otro foco, ya que el ángulo de incidencia con la elipse (es decir con la tangente), es igual al ángulo de reflexión.

Superficie de la elipse

¿Es posible obtener la superficie de la elipse sin el recurso al cálculo integral? La profesora Emma Castellnuovo, de forma análoga al método que siguió Kepler presenta en su libro Matemática nella realtà, una forma de obtener la superficie de la elipse, que paso a exponer (suponemos conocida la superficie de la circunferencia). Observa la siguiente animación:

El cuadrado con una circunferencia circunscrita dibujados sobre una pieza elástica, se transforma en un rectángulo, mientras que la circunferencia se transforma en una elipse. Las dos figuras son semejantes, lo que permite plantear la siguiente proporción entre áreas:

Los elipsoides

Al hacer girar una elipse alrededor de uno de sus ejes, obtenemos una figura llamada elipsoide. Pero a pesar de la simetría de la elipse, no se obtiene la misma figura si hacemos girar la elipse alrededor de su eje focal, que de su eje secundario.

Giro alrededor de su eje focal

Se obtiene entonces un elipsoide tipo balón de rugby, tal y como se observa en las siguientes figuras

Giro alrededor de su eje secundario

cuando la elipse gira alrededor de su eje secundario, la figura que se obtiene es un elipsoide tipo canto rodado

Este elipsoide es una muy buena aproximación al geoide, que es la forma con la que se llama a la figura del planeta Tierra.

Volumen del elipsoide

De modo análogo a como hemos hecho con la elipse, se puede obtener el volumen del elipsoide