La Parábola


La parábola como lugar geométrico

En el apartado Secciones cónicas hemos que la parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo P y de una recta d que no pasa por él. Es decir:

P es un punto de parábola si y solo si d(P,F) = d(P, d)

Recordemos que la distancia desde un punto a la una recta es la longitud del segmento perpendicular trazado por el punto a la recta

Elementos fundamentales de la parábola

Figura 1

Excentricidad de la parábola

Para poder definir la excentricidad de la parábola, necesitamos apoyarnos en una definición más general de las cónicas: una cónica es (también) el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que la razón de las distancias de un punto fijo llamado foco, y una recta fija llamada directriz, es constante. Esta razón recibe el nombre de excentricidad de la cónica.

Según sean los valores de la excentricidad se obtienen las diferentes cónicas. Para el caso en que la excentricidad sea 1, la razón de distancias es 1, por lo que el punto equidista del foco y de la directriz, luego estamos ante una parábola. Es decir, la parábola tiene excentricidad igual a 1.

Tangente y normal en un punto de la parábola

Demostraremos dos propiedades importantes de la tangente y la normal a la parábola en un punto P de la misma

La bisectriz del ángulo exterior que forma el radio-vector de un punto P cualquiera con la normal a la directriz es tangente a la parábola

Vamos a demostrar que la recta que pasa por P y es la bisectriz de FPA es tangente a la parábola en (Figura 2).

Figura 2

Figura 3

  • Para demostrar que dicha recta es tangente a la parábola nos bastará demostrar que el único punto en común que tienen la bisectriz y la parábola es P. Si P' es otro punto de la bisectriz (Figura 3) tendremos:
    • Como PA = PF la bisectriz de FPA es mediatriz de AF. En consecuencia P'A = P'F
    • Además P'B < P'A por ser P'B perpendicular a la directriz d
    • Se deduce de los dos puntos anteriores que P'B < P'F.

      En consecuencia P' no está en la parábola ya que P' no equidista de la directriz y del foco

Inversamente: la tangente a la parábola en cualquier punto P es la bisectriz del ángulo exterior que forma el radio-vector de un punto P cualquiera, con la normal a la directriz

Considera la Figura 4. Sea t la recta tangente a la parábola. Queremos demostrar que los ángulos a y b son iguales.

Figura 4

Figura 5

Empezaremos por demostrar que el simétrico del foco F, respecto a la recta t es A (siendo A pie de la perpendicular a la directriz (d) por el punto P), si y sólo si la recta t es tangente a la parábola (Un lector de esta Web, Rodrigo Velasco, me hizo notar un fallo en la demostración que subsano).

a) Condición necesaria. Supongamos que que el simétrico de F es A. Si t no fuera tangente a la parábola tendría al menos otro punto P' sobre la recta t y común con la parábola. Pero esto no es posible, ya que si P' está en la parábola d(P',d) = P'F. Por otro lado como P' está en la recta t, P'A = P'F, y en consecuencia d(P',d) = P'A, lo cual sólo puede ocurrir si P y P' coinciden.

b) Condición suficiente. Sea t una recta tangente a la parábola por el punto P. Puesto que P es un punto de la parábola se cumple que PA = PF. El simétrico de F respecto a t es A, ya que si no lo fuera (Figura 5), sería A' o A''. Supongamos que el simétrico es A'' (para el caso de A' la demostración sería la misma). Entonces como PF = PA y además PF = PA'' por ser A'' el simétrico de F respecto a t, tendremos que PA = PA'', pero esto es contradictorio salvo que A y A'' coincidan.

Por tanto: si la recta t es tangente a la parábola, el simétrico de F respecto a t es A, por lo que t es la mediatriz de AF. Y en consecuencia a y b son iguales.

La normal en P es la bisectriz del ángulo que forma un radio vector con la prolongación de la perpendicular a la directriz que pasa por P

La recta n es perpendicular a la tangente en P. Queremos demostrar que los ángulos FPN y NPA' son iguales. De la Figura 6, se deduce que APn mide 90-a, luego NPA' mide lo mismo por opuestos por el vértice. Además FPN mide 90 - a. Por tanto, queda demostrado.

Figura 6

¿De qué forma podemos usar esta propiedad de la parábola?

Supongamos que buscamos una pantalla que no disperse la luz. ¿Qué forma ha de darle a la pantalla? ¿Dónde se debe colocar la bombilla?

La solución al problema se obtiene estudiando la dirección que seguiría un rayo (de luz o sónico), que partiendo del foco, se refleje en la parábola. Según acabanos de ver, la tangente es la bisectriz del ángulo que forma el radio vector del punto, con la prolongación de la perpendicular por P a la directriz. Luego si el ángulo de incidencia ha de ser igual al ángulo de reflexión (al reflejarse en la curva, es decir, al reflejarse en la tangente en P), al salir un rayo de F y tocar en P, se reflejará según la dirección del eje de la parábola (Figuras 7 y 8)

Y al revés: si un rayo paralelo al eje, incide en la parábola se reflejará en dirección al foco (Figura 9). Esto se puede usar, por ejemplo para construir un horno solar, que recogiendo los rayos del sol, los refleje en el foco de la parábola. O también en las llamadas antenas parabólicas.

Figura 7

Figura 8

Figura 9

Aspecto de una parábola según los valores de p

De la Figura 1, se deduce que una recta d, y el valor de p, determinan la parábola. ¿Cómo son entre si, las parábolas al alejar el foco F, de la directriz d? O con otras palabras ¿cómo son entre si, las parábolas al hacer que p tome valores cada vez mayores? (Figura 10)

Figura 10

Como los puntos de la parábola equidistan del punto y de la directriz, al aumentar la distancia entre el foco y la directriz, las ramas de la parábola se irán abriendo cada vez más. La siguientes figuras muestran parábolas para diferentes valores de p.

Figura 11

Recordemos que el cambio del valor de p, no cambia la excentricidad, que para la parábola es siempre e = 1. En la Figura 11, se colorea el foco y la correspondiente parábola del mismo color.

Los paraboloides

Paraboloide de revolución

Al hacer girar una parábola alrededor de su eje, obtenemos una figura llamada paraboloide. Esta figura nos resulta familiar, ya que las antenas parabólicas son paraboloides de revolución: cualquier rayo que entre paralelo a su eje (procedente del infinito), se refleja en el foco.