Cálculo del área de un polígono simple

Este artículo es un resumen "personal" de la charla que el profesor Francisco Javier Arteaga pronunció como lección inaugural el curso 2009-10 en la UCV. Dar una charla de Matemáticas ante un público no especializado es muy difícil. Recuerdo que uno de los asistentes me dijo: "La charla la vais a entender el conferenciante y dos más". Bueno, pues no. Esta charla es prueba de ello. En este resumen, mis comentarios van en azul, para no asignarle al conferenciante lo que no dijo.

Esta frase, al comienzo de la charla resume bien el talante de este profesor. Muchos matemáticos participamos de la pasión por enseñar. Yo también

Tengo la inmensa suerte de ser profesor de Matemáticas y Estadística, lo cual me permite vivir haciendo lo que más me gusta, que es explicar a los demás una serie de contenidos que muchas veces he estudiado con el único ánimo de disfrutar tratando de hacerlos accesibles a quienes, me he convencido de que, les van a ser necesarios, aunque de esto me cuesta más convencer a los alumnos que a veces identifican la necesidad de comprender y saber aplicar dichos contenidos en la necesidad de superar las asignaturas en las que se incluyen, más que en la posterior utilidad de los mismos cuando ejerzan la profesión para la que se está preparando

Siempre me he preguntado porqué hay soluciones a problemas y demostraciones que son elegantes, creativas, imaginativas. ¿Qué es lo que caracteriza a estos desarrollos y qué no tienen los demás? No lo sé: el hecho es que hay teoremas mas bellos que otros, más creativos, más elegantes, más ... Bueno, pues este resumen, intenta transmitirte lo que descubrí en esta charla: creatividad y lógica. Espero que disfrutes tanto como yo. Y recuerda: descubrir la belleza de las Matemáticas, sólo está al alcance de unos pocos. Pero tú estás entre ellos.

En este resumen me centro en las ideas de la charla que me han llamado la atención, que no necesariamente son las ideas más importantes. No es, por tanto una transcripción fiel a la charla que dio el Profesor Arteaga. Por ello, algunas de sus partes ha sido necesario reelaborarlas. Pero no renuncio a ir completando este trabajo, con otras partes de su charla.

La charla tiene dos partes

Las definiciones previas en un artículo son importantes: nos tenemos que poner de acuerdo en la terminología, para que no haya dudas sobre lo que queremos decir. No las pongo todas, para no hacer demasiado largo este resumen, sólo las que creo más necesarias.

1.1 Polígono regular

Es un polígono cuyos lados son todos iguales. Ejemplos de polígonos regulares aparecen en la siguiente figura

Cuando un polígono no es regular se dice que es irregular

1.2 Polígono convexo

Se dice que un polígono es convexo siempre que dados dos puntos cualesquiera del polígono, el segmento que los une, está dentro del polígono. Cuando ocurre lo contrario se dice que el polígono es no convexo

1.3 Polígono estrellado

Decimos que un polígono es estrellado, cuando existe al menos un punto interior al polígono tal que el segmento que lo une con cualquier punto del polígono está contenido en el interior del polígono.

Figura 1

2. Un problema sencillo

Sea un polígono simple, definido por la sucesión de sus n vértices P = {Pi}i=1n, siendo Pi = (xi,yi) y sea un punto A = (xA,yA), que no es ninguno de los vértices del polígono ni está contenido en ninguno de los lados del mismo. ¿Cómo podemos determinar si el punto es interior o exterior al polígono?

Un comentario: esta pregunta parece una tontería, pero no lo es. Piensa en un polígono que tenga 100 vértices, y supón que no dispones de su gráfica.

2.1 Ejemplo 1

Sea un polígono definido por sus 8 vértices P = {(9,1) (6, 6) (9, 7) (5,9) (5,4) (4 9) (1,1) (4,3)} para el que se entiende que el último vértice P8 = (4,3) está unido por un segmento con el primero P1 = (9,1), para cerrar el polígono

Estamos interesados en determinar si el punto A(6, 5) está dentro del recinto delimitado por el polígono

A continuación se describen tres métodos diferentes para resolver el problema. El segundo y el tercero son de una sencillez admirable

2.2 Primera tentativa: recorriendo la frontera

La idea es desplazarnos desde el punto hasta las proximidades de la frontera, pero sin llegar a cruzarla, es decir, s el punto era exterior al polígono nuestra posición sigue siéndolo, mientras que si el punto era interior, este hecho tampoco cambia.

Una vez nos hemos aproximado a la frontera recorremos el contorno del polígono sin cruzar la frontera, midiendo la distancia que hemos recorrido al dar la la vuelta completa, digamos que esta distancia es d1

Ahora cruzamos la frontera (es un pequeño salto, ya que estamos en sus proximidades) y repetimos el proceso de recorrer el contorno del polígono hasta da la vuelta completa, con lo que recorremos un distancia a la que llamaremos d2.

Entonces:

Este método tiene el inconveniente de la complejidad algebraica, de posicionarnos en las proximidades del polígono, de recorrer el contorno midiendo la distancia recorrida y de cruzar la frontera

2.3 Segunda tentativa: trazando una semirrecta

Si trazamos una semirrecta desde un punto, con un ángulo arbitrario, pueden suceder dos cosas:

    • La semirrecta no intercepta a ninguno de los lados del polígono: en este caso el punto será exterior.
    • La semirrecta cruza al menos uno de los lados del polígono, en cuyo caso caben dos posibilidades
      • Intercepta un número par de lados en cuyo caso el punto es exterior
      • intercepta un número impar de lados en cuyo caso el punto es interior

en ambos casos, si la recta pasa por un vértice, sólo se contabiliza un cruce

Para este método la complejidad algebraica es menor que para el anterior, ya que sólo hay que comprobar el número de intersecciones entre la semirrecta y los lados del polígono, pudiendo elegir la semirrecta de manera que el cálculo se simplifique al máximo (por ejemplo horizontal o vertical)

2.4 Tercera tentativa: mirando alrededor

Este tercer método está basado en la sencilla idea de imaginar lo que haríamos si estuviéramos situados en el punto y quisiéramos saber si estamos encerrados dentro del polígono o si estamos fuera del mismo. La respuesta a la pregunta sería: "mira alrededor"

Al ir trazando desde el punto, rectas a cada vértice, y obteniendo los ángulos orientados que forman las rectas que unen el punto con cada par de vértices consecutivos, pueden pasar dos cosas

  • La suma de los ángulos es 360º: el punto es interior al polígono
  • La suma de los ángulos es 0º: el punto es exterior al polígono

El ejemplo de la izquierda es muy evidente. Para el de la derecha ten en cuenta que los ángulos P1AP2, P2AP3, P3AP4, P5AP1 son positivos, pero el ángulo P4AP5 es negativo, por lo que la suma de todos ellos es 0. La obtención analítica de estos ángulo se puede hacer mediante la fórmula que da el ángulo de dos vectores

2.5 Ejemplo 2

Recordemos el Ejemplo 1. Utilizando este tercer método, puedes comprobar que la suma de los ángulos P1AP2, P2AP3, P3AP4, ...., P8AP1, es de 360º lo que implica que el punto A es interior al poliígono. Para ello, puedes usar la fómula que permite calcular el ángulo entre dos vectores, pero debes tener cuidado con el signo del ángulo.

3. Una aproximación estocástica al área del polígono

Al disponer de un método sencillo para determinar si un punto es interior o exterior a un polígono, podemos usar la siguiente idea para obtener una aproximación del área del polígono. Supongamos que colocamos el polígono dentro de un recinto de área conocida que vamos a llamar S, y supongamos que la superficie del polígono es S(P). Si "lanzamos" sobre el recinto un montón de puntos, unos caerán dentro del polígono y otros fuera. Pues bien, la probabilidad de que un punto caiga dentro del polígono será prob = S(P)/S.

Si el recinto exterior coincide con el polígono entonces prob = 1, y si el polígono tiene superficie nula, entonces prob = 0.

Se busca obtener una aproximación para "prob", mediante el lanzamiento de los puntos. Para que este método funcione hay que lanzar muchos puntos, ya que de lo contrario la aproximación que obtengamos para prob no será lo suficientemente buena. Este método se llama Método de Montecarlo.

La idea es simular con un ordenador, esos lanzamientos (aleatorios), de manera que con cada lanzamiento iremos obteniendo una cada vez, mejor aproximación a S(P).

Para el polígono del Ejemplo 1, cuya figura se observa más abajo, lanzando 20000 puntos, el autor de la charla obtuvo una aproximación a la superficie del polígono de 28.44 unidades de superficie. Su verdadero valor es 28.5 unidades de superficie. Como ves la aproximación es buena.

Concretando: ¿cómo se puede explicar paso a paso, esta simulación? Veamos:

 

Si el recuento de puntos dentro y fuera del polígono, lo hacemos después de cada, pongamos, 100 lanzamientos, podremos visualizar cómo después de cada iteración la aproximación se va acercando al verdadero valor (que insisto, se supone desconocido). Es evidente que al ser la generación de los puntos aleatoria, cada simulación nos dará una aproximación distinta, pero todas ellas serán muy parecidas.

4. Área de un polígono cualquiera

La idea central del trabajo es encontrar una fórmula que permita calcular la superficie de un polígono cualquiera en función de las coordenadas de los vértices. Para ello sigue los siguientes pasos, que no voy a detallar para no hacer demasiado larga esta exposición.

Considera el caso de un polígono estrellado, como el de la Figura 1. Desde un punto A, traza segmentos a los vértices, con lo que consigue dividirlo en triángulos. La definición de polígono estrellado implica la existencia de al menos un punto tal que los segmentos que unen cada vértice con dicho punto están totalmente incluidos en el interior del polígono. La suma de las áreas de los triángulos le lleva a la siguiente fórmula (que debe ser interpretada como una regla memotécnica).:

y que se calcula de la siguente manera: la expresión entre barras es la suma de todos los productos obtenidos mediante diagonales recorridas de izquierda a derecha, menos la suma de todos los productos obtenidos mediante diagonales de derecha a izquierda.

Y la primera sorpresa (aunque relativa ya que la superficie del polígono sólo depende de los vértices) es que la formula no depende del punto A elegido para dividir el polígono en triángulos. La segunda es que la fórmula sigue siendo válida aun si el punto es exterior al polígono.

Cuando considera el caso de un polígono no estrellado, aparece la tercera sorpresa. La fórmula es válida incluso para polígonos no estrellados. La demostración en este caso la hace por inducción.

En resumen: la relación anterior sirve para cualquier polígono.

4.1 Ejemplo 3

Vamos a aplicar esta fórmula al polígono del Ejemplo 1.

=

4. Un caso especial: la fórmula de Pick

Para el caso especial de polígono simple cuyos vértices son puntos de una retícula como el caso del polígono del Ejemplo 1, existe una fórmula muy simple para el cálculo de su área,debida al vienés George Alexander Pick, publicada en 1899, con el título: Geometrisches zur Zallenlehre, en la revista Sitzungberg, que precisa sólo del número de nodos de la retícula interiores al polígono (I), y del número de nodos de la retícula en el perímetro del polígono (B).

¡¡Vaya sorpresa!! No tenía ni idea de que existiera esta fórmula ¡Obtiene el área de un polígono colocándolo sobre una retícula (de forma adecuada), y contando los nodos que están dentro del polígono sobre la retícula, y los nodos que están en la retícula sobre los lados! Me pregunto si la demostracón será muy difícil. Intentaré buscarla.

La fórmula de Pick nos dice que para calcular el área del polígono debemos emplear la relación Área = I + B/2 - 1.

Para el polígono del Ejemplo 1, el recuento de puntos interiores y el número de puntos sobre el perímetro, sería: I = 23 puntos interiores, y B = 13 puntos en el perímetro, con lo que aplicando la fórmula de Pick, obtenemos: Área = 23 + 13/2 - 1 = 28.5 unidades de superficie.

La Fórmula de Pick es muy elegante, pero habría que resaltar que no es tan sencilla de emplear, ya que no es fácil el conteo de puntos interiores y el de puntos sobre el perímetro

Un problema. Cuando acabó la charla, algunos de los asistentes nos planteamos la siguiente cuestión. Supongamos que no todos los vértices del polígono están situados en la retícula formada por cuadrados de 1 unidad de superficie. Siempre podríamos dividir las unidades de los ejes OX y OY, hasta conseguir que los vértices cayeran sobre una retícula más fina, con lo que siempre se podría aplicar la fórmula de Pick a cualquier polígono.

La respuesta a esta pregunta es que no siempre es posible hacer esto. ¿Sabes en qué casos no lo es? Aquí tienes la respuesta