Sobre Pitágoras y su teorema

Si has estudiado matemáticas habrás podido observar que muchos teoremas y fórmulas se apoyan en el Teorema de Pitágoras. ¿Qué se puede decir sobre este teorema y sobre Pitágoras?.

De Pitágoras, se conoce poco, porque mucha de la documentación escrita sobre él, se ha perdido. Nacido en Samos, se sabe que viajó a Egipto y Babilonia, y posiblemente a la India, y fue casi exactamente contemporáneo de personajes de la importancia de Confucio, Buda y Lao-Tse. Pitágoras fundó una sociedad secreta, en la que todos los conocimientos e investigaciones sobre filosofía (que significa “amor a la sabiduría”) y matemáticas (que significa “aquello que se aprende”) eran mantenidos en régimen de comunidad. Por ello es mejor atribuir los descubrimientos que hicieron a las escuela pitagórica, más que a la propia persona de Pitágoras. Esta relación tan directa entre Filosofía y Matemáticas no es por casualidad: tuvieron un origen común y en la práctica no se han separado. Leibniz, Newton, Bertrand Russell, Descartes son ejemplos de grandes filósofos y matemáticos.

Casi con toda seguridad este teorema era conocido anteriormente a los pitagóricos, y su demostración no se les puede atribuir a ellos.

Una de las primeras demostraciones que se conocen del Teorema de Pitágoras es la que aparece en Los Elementos de Euclides, que vamos a ver a continuación. En su libro, Euclides explica que el Teorema de Pitágoras es una condición necesaria y suficiente para que un triángulo sea rectángulo; lo cual en muchos libros de texto actuales no suele aparecer con suficiente claridad. Dicho de otra manera, la formulación del teorema de Pitágoras consta de dos partes, que Euclides separa en dos proposiciones diferentes. Son las siguientes:

En Matemáticas a este tipo de teoremas se les llama de “condición necesaria y suficiente”. La primera afirmación se dice que una condición necesaria y la segunda se dice que es una condición suficiente. Así el enunciado completo y correcto del Teorema de Pitágoras debería ser como sigue: “La condición necesaria y suficiente para que un triángulo sea rectángulo es que la longitud del lado opuesto al ángulo recto (llamado hipotenusa) al cuadrado, sea igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados (llamados catetos)”.

La demostración de Euclides, que vamos a ver, corresponde a la primera afirmación del teorema de Pitágoras. Intenta tú demostrar la segunda.

No hace falta explicar cómo se ha construido la figura situada más abajo. A muchos, esta figura les ha parecido semejante a un molino de viento, una cola de pavo real, e incluso se la ha llamado silla de la novia.

Supongamos que el triángulo ABC es rectángulo en C. Llamamos, como es habitual, a los lados opuestos a los vértices, con la correspondiente letra minúscula. Por tanto, la hipotenusa del triángulo mide c, y los catetos a y b.

En la figura, CJ es perpendicular al lado HI; además DK es paralelo a EB y BK paralelo a ED. Por lo cual EDBK es un rectángulo. Entonces tendremos:

Bueno si no has sido capaz de demostrar la condición suficiente del Teorema de Pitágora, aquí la tienes.

Otra demostración del Teorema de Pitágoras

La demostración que acabas de ver del Teorema de Pitágoras (condición necesaria) no es muy sencilla. Hay otras muchas demostraciones..

La que te propongo a continuación es de las más sencillas, como vas a poder comprobar.

Sea ABCD un cuadrado de lado m. Colocamos cuatro segmentos de longitud x, tal y como indica la figura, con lo que obtenemos cuaro puntos, que vamo a llamar A', B', C' y D'. Estos cuatro puntos forman un cuadrilátero, que vamos a demostrar que es un cuadrado

Los triángulos B'AA', A'DD', D'CC' y C'BB' son iguales, ya que tienen dos lados iguales, y el ángulo comprendido (que en cada uno de ellos, coincide con los ánguloa A, B, C y D, que son todos de 90º). Entonces

Se observa que los ángulos DD'A' y AA'B' son iguales ya que los triángulos B'AA', A'DD' son iguales. Por tanto el ángulo D'A'B' mide 90º. Y de igual forma podemos hacer con los otros tres ángulos del cuadrilátero A'B'C'D'. En consecuencia queda demostrado que A'B'C'D' es un cuadrado. Si su lado es a, su superficie será S = a2. Considera ahora los siguientes dos cuadrados que son de igual superficie, siendo T la superficie de cada uno de los triángulos. Tendremos

4 · T + a2 = b2 + c2 + 4 · T

Y simplificando obtenemos que a2 = b2 + c2, relación que demuestra el Teorema de Pitágoras.

Generalizaciones geométricas del Teorema de Pitágoras

La traducción geométrica del Teorema de Pitágoras, afima que el cuadrado construido sobre la hipotenusa tiene igual superficie que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Si buscamos generalizaciones para este enuciado del Teorema de Pitágoras, nos podríamos preguntar:

Te dejo las soluciones aquí, por si no tienes muchas ganas de pensar. Pero estas cuestiones no son complicadas: seguro que puedes resolverlas.

El teorema de Pitágoras en el espacio

Para calcular la diagonal del ortoedro, podemos usar el Teorema de Pitágoras de la siguiente manera

En el triángulo rectángulo MON, se tiene que d2 = c2 + m2. A su vez, m es la hipotenusa del triángulo rectángulo OKN, por lo que m2 = a2 + b2. Entonces se tendrá que d2 = a2 + b2 + c2, resultado conocido como Teorema de Pitágoras en en el espacio.