Pitágoras generalizado

Para el semicírculo

La generalización del Teorema de Pitágoras para el semicírculo, pedirá demostrar que SH = SC1 + SC2

Suponemos que el Torema de Pitágoras para el cuadrado se cumple. Por tanto: (1). Por otro lado

Es decir, partiendo de (1) y teniendo en cuenta las relaciones (2), podemos llegar a que

Por tanto la generalización del Teorema de Pitágoras para el semicírculo es también cierta. Y para el círculo también lo es (ahora la demostración es muy sencilla)

Para el triángulo equilátero

La generalización del Teorema de Pitágoras para el triángulo equilátero pedirá demostrar que   

 

Necesitamos en primer lugar una fórmula que nos dé la superficie de un triángulo equilátero en función de lado. La podemos buscar en Internet, pero parece más lógico deducirla. Veamos:

 

Por tanto tendremos:

Como sabemos que el Teorema de Pitágoras es cierto para el cuadrado, entonces y de esta relación y de las igualdades (3) se deduce que y por tanto podemos afirmar que

La generalización del Teorema de Pitágoras para el triángulo equilátero es también cierta.

Para el hexágono regular

Como antes necesitamos la superficie del hexágono regular, en función del lado. Como un hexágono regular cualquiera queda dividido en seis triángulos equiláteros, al unir el centro del polígono con cada vértice, la superficie del exágono regular, en función del lado (que suponemos vale a) será:

Y de manera semejante a como hemos visto antes se tendrá que la generalización del Teorema de Pitágoras para el hexágono regular es también cierta.

¿Y para un polígono regular cualquiera?

Como antes necesitamos una fórmula que nos de la superficie de un poliígono regular cualquiera en función del lado. Pero ahora no podemos seguir el razonamiento anterior, ya que los triángulos que se obtienen, al unir los vértices del polígono con su centro, ya no son equiláteros. Te dejo a ti que demuestres si el Teorema de Pitágoras se generaliza para un polígono regular cualquiera.