Teoría de números

La teoría de números es una de las partes de las Matemáticas más difíciles y al mismo tiempo más elemental. ¿Qué significa esto?. Al afirmar que es elemental se quiere decir que al tratar de los números naturales y de sus propiedades sus enunciados no son complicados de entender y no tiene un gran nivel de abstracción. Pero es difícil porque sus técnicas de trabajo se apoyan en casi todas las otras ramas de las Matemáticas: Análisis, Geometría, Álgebra, Complejidad Algorítmica, etc.

Esta parte de las Matemáticas se ha puesto de moda con la aparición de Internet, y la necesidad de proteger programas, acceso a la información, acceso a las páginas Web, etc. Muchas de estas protecciones se basan en la dificultad que presenta la factorización de números naturales muy grandes formados por el producto de dos números primos también muy grandes.

Son muchos los teoremas abiertos que hay dentro de ella. Poco a poco se van demostrando algunos, pero quedan muchos por demostrar. Puedes mirar aquí para ver algunos de ellos.

Los primeros pasos que casi todos damos en Matemáticas están relacionados con los factores y los divisores: desde el primer momento nos explican que hay números que no se pueden factorizar y otros que sí. Por ejemplo: el número 13 no se puede descomponer en factores más pequeños. Se dice que es primo. En cambio el 24 se puede descomponer en factores más pequeños de la siguiente manera: 24 = 23.3. Se dice que es un número compuesto. La descomposición en factores primos de un número a veces exige mucho cálculo, porque no hay una regla general que nos permita saber a priori si un número cualquiera es primo o no. El siguiente programa descompone un número en sus factores primos, pero no le des números demasiado grandes porque te dará error, o se pasará mucho rato hasta conseguir la factorización.

Este otro programa obtiene la lista de números primos entre los valores que le indiques Cabe en este momento hacerse una pregunta. ¿Es infinita dicha lista?. La respuesta es sí. Euclides, un matemático griego, ya había demostrado que sí. Vamos a ver la demostración que él hizo: se basa en demostrar que dado un primo pm siempre es posible encontrar otro mayor: y para demostrar esta afirmación simplemente construye dicho número primo mayor que pm.

Una de las cosas que más llama la atención de los números primos es que al ponerlos en una lista es imposible (hoy por hoy) predecir la cantidad de números primos que hay entre dos decenas consecutivas: por ejemplo, entre 180 y 190 sólo hay un primo, el 181, mientras que entre 190 y 200 hay cuatro: 191, 193, 197 y 199. Hay tramos largos en los que el número de primos es escaso, mientras que en otros son mucho más abundantes. Más aún: es posible demostrar que podemos encontrar tramos tan grandes como queramos de números seguidos que no sean primos. Veamos:

a1= 2*3*...*10111  + 2 = 10111! + 2
a2
= 2*3*...*10111  + 3 = 10111! + 3
a3 = 2*3*...*10111 + 4 = 10111! + 4
a4=2*3*...*10111  +  5 = 10111!+ 5
, .... ,
a10110 = 2*3*...*10111  + 10111 = 10111! + 10111

Recuerda lo que significa ese “! a la derecha de un número: n! = n · (n -1) · (n -2) · .... · 3 · 2 · 1

¿Es posible encontrar orden en este caos?. Bueno, pues no parece fácil. Para que te hagas una idea: la sucesión de los números primos no tiene término general y seguramente es imposible encontrar una fórmula que dé todos los números primos. Vale,¿ y si nos ponemos poco exigentes e intentamos encontrar un polinomio p(n) que al darle valores a n nos dé números primos?. Pues Golbach, demostró que tal polinomio no existe. Más aún: Legendre demostró que ni siquiera una función racional puede generar números primos para todos sus valores. Se cococen algunos polinomios que generan primos para muchos valores de n, como por ejemplo p(n) = n2 + n + 41, que lo encontró Euler.