Probabilidad


Para poder entender algunos de los siguientes problemas necesitas tener algunos conceptos sobre Probabilidad: en concreto es necesario saber lo que son sucesos dependientes e independientes, y cómo se calculan las probabilidades de ese tipo de sucesos. Como ayuda, y sin entrar en una explicación demasiado detallada de estos conceptos, aquí van algunas ideas sobre sucesos dependientes e independientes

Sea B = "obtener un 3 en el dado", y sea C = "obtener puntuación impar", entonces p(B/C) = 1/3, y se lee "probabilidad de B condicionada a C"


Un problema propuesto por Martin Gardner.

En teoría de probabilidades es frecuente ilustrar los teoremas con ejemplos sobre objetos idénticos, aunque de distinto color, que son extraídos de urnas, cajas, bolsas etc. Incluso los más sencillos de estos problemas pueden resultar difíciles de analizar claramente. Recordemos por ejemplo el quinto de los Pillow Problems de Lewis Carroll: “Una bola contenida en una bolsa puede ser, o bien blanca o bien negra. Se añade a la bolsa una bola blanca, y se extrae al azar una bola, que resulta blanca ¿Qué probabilidad hay ahora de que al extraer la otra bola, también resulte ser blanca?”

Martin Gardner. Circo Matemático

Sobre los Pillow Problems tienes una explicación aquí

Martin Gardner continua escribiendo sobre este problema, lo siguiente: “A primera vista”, nos dice Carroll en su análisis de la solución, “podría parecer que como el estado de la bolsa después de efectuadas estas operaciones tiene que ser necesariamente idéntico al que tuviera antes de introducir la bola blanca, la probabilidad sería ahora idéntica a la probabilidad inicial, es decir 1/2. Pero esto es una error”

Carrol demuestra entonces que la probabilidad de que la bola, aún cotenida en la bolsa, sea blanca es 2/3 en realidad. Su demostración toma vuelos demasiado altos para exponerlos aquí, ....

Creo que la solución al problema no es tan complicada, y te propongo que la encuentres. Sobre las cuestiones que plantea Martin Gardner (y en la página que te he señalado antes), quisiera hacer algunas reflexiones

La probabilidad es un concepto que sólo tiene sentido antes de realizar un experimento. Una vez realizado ya no tiene sentido plantearse la probabilidad de que ocurra un suceso determinado

Desde el punto de vista de la comprensión, me gusta la definición frecuencialista de probabilidad, que para este problema se traduciría en la siguiente pregunta: al repetir el experimento anterior un número muy alto de veces, ¿en cuántos de ellos al extraer la otra bola, resultaría blanca?

En este tipo de problemas, los diagramas en árbol, son una manera sencilla y eficiente de plantearlos y resolverlos


Las sorpresas de la probabilidad

Llevábamos varios meses viajando por los pueblos que hay en la zona Este de la Mancha, entre Almansa y Riopar. Soy el lazarillo de un ciego tramposo, que buscaba aprovecharse de la codicia ajena, y que con increíble habilidad sabía despertar ese instinto de ganar dinero fácil que muchos llevan dentro. Mi obligación era avisarle del dado que elegía el lugareño. Él sabía hacer lo demás.

Llegamos a Riopar, un pueblo pequeño, en el que la nieve caía con frecuencia en invierno: sus gentes, pobres, y a ratos con mucha hambre, se veían obligadas a vivir de la ganadería y la agricultura. Se pasaban la vida soñando con salir de la miseria porque aquellas tierras apenas les daba para alimentarse y poco más.

Después de instalarnos en la orilla del río Mundo, nos dirigimos al pueblo, con una mesa y dos sillas. Encima de la mesa cuatro dados, aunque un poco especiales.

  • El dado A tenía cuatro caras con un 4 y dos caras con 0.
  • El dado B tenía las seis caras con un 3
  • El dado C tenía cuatro caras con 2 y dos caras con 6
  • El dado D tenía tres caras con un 1 y tres caras caras con un 5.

Pronto empezó la gente a acercarse, y siempre había alguno que preguntaba. Mi amo, le explicaba el juego: cada uno ponemos encima de la mesa 10 reales. Yo elijo un dado, vuesa merced otro. Lanzamos. El que más puntos saque gana.

Claro ... Si vuesa merced elige en primer lugar, es lógico que gane. Si me deja elegir a mi primero, estoy dispuesto a jugar.

Mi amo siempre se hacía el remolón. Dudaba, argumentaba, pero acababa cediendo, como a desgana. Yo sólo tenía que avisarle por debajo de la mesa, qué dado había elegido el lugareño. Después de un tiempo me di cuenta de que mi amo elegía según el siguiente esquema:

Es decir, que si el contrincante elegía el dado A, entonces mi amo elegía el dado D, si elegía el B, mi amo el A, y así sucesivamente. Al cabo de un buen número de partidas, mi amo había ganado en 2/3 de ellas, mientras que los contrincantes ganaban en el otro tercio. Los del pueblo acababan pensando que hacíamos trampas, pero incapaces de demostrarlo, se enfadaban y muchas veces salimos por piernas, y con algunos golpes en la cabeza, y por supuesto sin un real.

¿Cuál es el truco?¿Hace trampas el amo? La respuesta es no. Si comparas probabilidades, observarás que el dado A le gana al D con probabilidad 2/3, el D al C con esa misma probabilidad, y así sucesivamente según el esquema anterior y con esas mismas probabilidades. Con otras palabras: este juego tiene una estrategia ganadora, de manera que si el segundo jugador elige según el esquema anterior, tiene probabilidad 2/3 de ganar. A continuación tienes la demostración de esto.

 


Un sorteo especial

A un grupo de amigos les ha tocado un premio que consiste en 5 ordenadores última generación. Como no queda más remedio deciden sortearlos, y el matemático del grupo propone el siguiente método:

Antes de realizar el sorteo, el matemático listillo pide tener el número 15, y afirma que eso no significa nada, ya que el sorteo asigna la misma probabilidad a cada uno de que le toque uno de los premios. ¿Qué te parece? ¿Es un sorteo equitativo?

¿Qué probabilidad tiene cada uno del grupo de obtener el premio?

Nota: este problema es un modelo simplificado de otro problema más complicado que se planteó hace algunos años con el sorteo de la mili. En la solución que te propongo, te cuento la historia completa del sorteo, así como el cálculo de las probabilidades en el modelo simplificado, y en el problema completo


 

El problema de las oposiciones

En las oposiciones al cuerpo de profesores de enseñanza media, los opositores se han de estudiar 71 temas. Por sorteo se eligen aleatoriamente 5 temas, teniendo el opositor que elegir uno, que es el que ha de desarrollar. ¿Cuántos temas ha de saberse, para que la probabilidad de que le toque en el sorteo al menos uno de los temas que se sabe, sea de 0.9?


El problema del concurso

En un concurso de televisón se le pide a un concursante que elija entre tres puertas. Sólo detrás de una de ellas hay premio. Cuando el concursante ha elegido una puerta, el presentador le muestra una de las dos restantes, que resulta no tener premio. En ese momento el presentador le da la opción de cambiar ¿Debe cambiar de puerta el concursante?

Tentación: como quedan dos puertas y en una de ellas tiene que estar el regalo, la probabilidad de elegir, en una segunda elección una puerta con premio, es 1/2. En consecuencia podemos pensar que el cambio de puerta es indiferente.¿Por qué no es coorecto este razonamiento?

Ayuda: en este tipo de problemas, los diagramas en árbol, son una forma sencilla de visualizar el problema