Ejercicios de calculo diferencial

El cálculo diferencial es una rama fundamental de las matemáticas que se centra en el estudio de las tasas a las cuales las cantidades cambian. En particular, se enfoca en la derivada y sus aplicaciones. A continuación, exploraremos diversos ejercicios de cálculo diferencial, incluyendo sus teorías, conceptos, ejemplos y soluciones detalladas.

Concepto de Derivada

La derivada de una función mide la rapidez con la que cambia su valor respecto a un cambio en su variable independiente. Matemáticamente, si tenemos una función f(x), su derivada se denota por f'(x) o df/dx.

Definición Matemática

La derivada de f(x) en un punto x=a se define como:

f'(a) = lim(h → 0) [f(a+h) - f(a)]/h 

Propiedades Básicas de las Derivadas

• Linealidad: c f(x)' es c f'(x)
• Regla del Producto: (fg)' = f'g + fg'
• Regla del Cociente: (f/g)' = (f'g - fg')/g^2
• Regla de la Cadena: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

Teorías Relacionadas

Existen varias teorías fundamentales relacionadas con el cálculo diferencial, entre las cuales se destacan el Teorema del Valor Medio y el Teorema de Rolle.

Teorema del Valor Medio

Según este teorema, si f es una función continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe al menos un punto c en (a, b) tal que:

f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)

Ejemplos de Ejercicios

A continuación, se presentan algunos ejemplos de ejercicios resueltos de cálculo diferencial para diferentes tipos de funciones.

Ejemplo 1: Derivada de una Función Polinómica

Considere la función f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 6x - 2.

La derivada de f(x) es:

f'(x) = 9x^2 - 10x + 6

Usando las reglas de derivación para cada término.

Ejemplo 2: Derivada de Función Trigonométrica

Considere la función g(x) = sin(x).

La derivada de g(x) es:

g'(x) = cos(x)

Ejercicios Propuestos

Se proponen los siguientes ejercicios para practicar la derivación de diversas funciones.

1. Calcular la derivada de h(x) = x^4 - 3x + 7.
2. Encuentra la derivada de p(x) = ln(x).
3. Calcular la derivada de r(x) = e^x sin(x).

Soluciones a los Ejercicios Propuestos

Solución 1

Para el primer ejercicio, h(x) = x^4 - 3x + 7, la derivada es:

h'(x) = 4x^3 - 3

Solución 2

Para el segundo ejercicio, p(x) = ln(x), la derivada es:

p'(x) = 1/x

Solución 3

Para el tercer ejercicio, r(x) = e^x sin(x), aplicando la regla del producto, la derivada es:

r'(x) = e^x cos(x) + e^x sin(x)

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