Ejercicios de desigualdades

Las desigualdades son expresiones matemáticas que comparan dos valores mostrando que uno es mayor, menor, mayor o igual, o menor o igual que el otro. Este artículo explora cómo resolver diversas desigualdades y ofrece ejemplos prácticos para una mejor *comprensión*.

Concepto de Desigualdades

Una *desigualdad* es una relación matemática que muestra que dos cantidades no son iguales. En lugar de utilizar "=" como en las ecuaciones, las desigualdades utilizan los siguientes *símbolos*:

• > (mayor que)
• < (menor que)
• ≥ (mayor o igual que)
• ≤ (menor o igual que)

Teorías Fundamentales de las Desigualdades

Propiedad de Aditividad

Si a > b, entonces a + c > b + c para cualquier número c.

Propiedad de Multiplicación

Si a > b y c > 0, entonces a * c > b * c. Sin embargo, si c < 0, entonces a * c < b * c.

Ejemplos y Soluciones de Desigualdades Simples

Veamos algunos ejemplos de cómo resolver desigualdades simples:

Ejemplo 1

Resuelve la desigualdad 2x - 5 > 3.

Solución:

• Primero, suma 5 a ambos lados de la desigualdad: 2x - 5 + 5 > 3 + 5, lo que simplifica a 2x > 8.
• Luego, divide ambos lados por 2: x > 4.

La solución es: *x > 4*.

Ejemplo 2

Resuelve la desigualdad -3x + 7 ≤ 1.

Solución:

• Resta 7 de ambos lados: -3x + 7 - 7 ≤ 1 - 7, lo que simplifica a -3x ≤ -6.
• Luego, divide ambos lados por -3, y recuerda cambiar el signo de la desigualdad: x ≥ 2.

La solución es: *x ≥ 2*.

Desigualdades Compuestas

Las desigualdades compuestas involucran más de una desigualdad al mismo tiempo. Estos se pueden resolver dividiendo en dos o más partes.

Ejemplo de Desigualdad Compuesta

Resuelve la desigualdad 1 < 2x + 3 < 7.

Solución:

• Primero, resta 3 de todas las partes: 1 - 3 < 2x + 3 - 3 < 7 - 3, simplificando a -2 < 2x < 4.
• Luego, divide todos los lados por 2: -1 < x < 2.

La solución es: *-1 < x < 2*.

Aplicaciones de Desigualdades en Problemas del Mundo Real

Las desigualdades son útiles para modelar condiciones del mundo real donde la exactitud es menos importante que el rango o límites. Veamos un ejemplo:

Ejemplo en el Mundo Real

Una empresa necesita producir al menos 200 unidades pero no más de 500 unidades en un día. ¿Cómo podemos representar esta situación?

Podemos usar una desigualdad compuesta: 200 ≤ x ≤ 500, donde x es el número de unidades producidas.

Desigualdades Cuadráticas

Resuelve desigualdades cuadráticas implica encontrar los valores de x que satisfacen una desigualdad de la forma ax² + bx + c > 0 o ax² + bx + c < 0.

Ejemplo de Desigualdad Cuadrática

Resuelve x² - 4x + 3 < 0.

Solución:

• Factoriza la ecuación: (x - 1)(x - 3) < 0.
• Encuentra los puntos críticos: x = 1 y x = 3.
• Prueba intervalos: Para x en (-∞, 1) y (1, 3), la desigualdad es verdadera.

La solución es: *1 < x < 3*.

Finalmente

Las desigualdades son fundamentales en matemáticas para comparar cantidades y resolver problemas del mundo real. A través de ejemplos y teorías, hemos explorado cómo se pueden resolver y aplicarlas de manera efectiva. La práctica constante y la *comprensión* profunda de las propiedades subyacentes son clave para dominar este tema esencial.

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