Ejercicios de distancia entre dos puntos

Descripción de la Distancia entre dos Puntos

En la geometría plana, calcular la distancia entre dos puntos es una tarea fundamental que sirve como base para numerosos conceptos y aplicaciones. La distancia entre dos puntos en un plano cartesiano se determina mediante la fórmula de la distancia. Esta fórmula proviene del teorema de Pitágoras, aplicado en el contexto de coordenadas.

Teoría Fundamental de la Distancia entre dos Puntos

La fórmula de la distancia entre dos puntos se deriva del teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa se puede calcular usando las longitudes de los catetos. En el plano cartesiano, si tenemos dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), la distancia d entre estos dos puntos se puede calcular de la siguiente manera:

Fórmula de la Distancia

La fórmula de la distancia es:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Concepto de Coordenadas Cartesianas

El sistema de coordenadas cartesianas permite la representación gráfica y el análisis de objetos y figuras en un plano. Cada punto en el plano está determinado por una pareja ordenada de números, que se corresponden con las distancias a los ejes x y y.

Elementos del Plano Cartesiano

• Eje X: La línea horizontal en el plano
• Eje Y: La línea vertical en el plano
• Origen: El punto de intersección de los ejes, representado como (0, 0)
• Cuadrantes: Las cuatro regiones en las que el plano se divide

Ejemplos de Cálculo de Distancia entre dos Puntos

A continuación se presentan algunos ejemplos para ilustrar el cálculo de la distancia entre dos puntos.

Ejemplo 1

Considere los puntos A(3, 4) y B(7, 1). Utilizando la fórmula de la distancia:

    d = √((7 - 3)^2 + (1 - 4)^2)
      = √(4^2 + (-3)^2)
      = √(16 + 9)
      = √25
      = 5
    

**Solución**: La distancia entre los puntos A y B es 5 unidades.

Ejemplo 2

Consideremos los puntos P(-5, -2) y Q(1, 3). Usando la misma fórmula, tenemos:

    d = √((1 - (-5))^2 + (3 - (-2))^2)
      = √(6^2 + 5^2)
      = √(36 + 25)
      = √61
      = 7.81 (aproximadamente)
    

**Solución**: La distancia entre los puntos P y Q es aproximadamente 7.81 unidades.

Conceptos Relacionados y Aplicaciones

El cálculo de distancias tiene una amplia variedad de aplicaciones en diferentes campos de las matemáticas y la ciencia:

• Geometría Analítica: Utiliza la fórmula de la distancia para definir figuras geométricas como círculos y elipses.
• Física: Determina la separación entre partículas o cuerpos en el espacio.
• Ingeniería: Aplica esta fórmula en el diseño y análisis de estructuras.
• Informática: En gráficos por computadora y algoritmos de búsqueda de rutas.

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