Sumas de riemann ejercicios resueltos

Introducción a las Sumas de Riemann

Las sumas de Riemann son una herramienta fundamental en el cálculo integral para aproximar el valor de una integral definida. Este método se utiliza para calcular el área bajo una curva dividiendo el área en rectángulos y sumando sus áreas.

Concepto de las Sumas de Riemann

La idea principal de la suma de Riemann radica en dividir el intervalo sobre el cual queremos integrar una función en subintervalos más pequeños y luego sumar las áreas de los rectángulos formados. Existen principalmente tres tipos de sumas de Riemann:

• Suma de Riemann por la Izquierda: Usa el valor de la función en el extremo izquierdo del subintervalo.
• Suma de Riemann por la Derecha: Usa el valor de la función en el extremo derecho del subintervalo.
• Suma de Riemann por Valores Medios: Usa el valor de la función en el punto medio del subintervalo.

Teoría de las Sumas de Riemann

Fórmula General

La suma de Riemann se puede expresar generalmente como:

( S = sum_{i=1}^{n} f(x_i) Delta x )

Donde:

• ( n ): Número de subintervalos
• ( f(x_i) ): Valor de la función en el punto ( x_i )
• ( Delta x ): Longitud de cada subintervalo, calculada como ( Delta x = frac{b-a}{n} )

Ejemplo Práctico

A continuación, resolveremos un ejemplo práctico para ilustrar el uso de la suma de Riemann.

Ejercicio 1

Calcular la suma de Riemann por la izquierda para la función ( f(x) = x^2 ) en el intervalo [0, 2] con 4 subintervalos.

Solución

• Dividimos el intervalo [0,2] en 4 subintervalos. Entonces ( Delta x = frac{2-0}{4} = 0.5 ).
• Los extremos izquierdos de cada subintervalo serán: 0, 0.5, 1, 1.5.
• Calculamos los valores de la función en esos puntos: ( f(0) = 0 ), ( f(0.5) = 0.25 ), ( f(1) = 1 ), ( f(1.5) = 2.25 ).
• Suma de Riemann por la izquierda: ( S = f(0) Delta x + f(0.5) Delta x + f(1) Delta x + f(1.5) Delta x )
• ( S = (0 cdot 0.5) + (0.25 cdot 0.5) + (1 cdot 0.5) + (2.25 cdot 0.5) )
• ( S = 0 + 0.125 + 0.5 + 1.125 = 1.75 )

Por lo tanto, la suma de Riemann por la izquierda para este ejemplo es 1.75.

Otro Ejemplo

Ejercicio 2

Calcular la suma de Riemann por la derecha para la función ( f(x) = x^3 ) en el intervalo [1, 3] con 2 subintervalos.

Solución

• Dividimos el intervalo [1,3] en 2 subintervalos. Entonces ( Delta x = frac{3-1}{2} = 1 ).
• Los extremos derechos de cada subintervalo serán: 2, 3.
• Calculamos los valores de la función en esos puntos: ( f(2) = 8 ), ( f(3) = 27 ).
• Suma de Riemann por la derecha: ( S = f(2) Delta x + f(3) Delta x )
• ( S = (8 cdot 1) + (27 cdot 1) )
• ( S = 8 + 27 = 35 )

Por lo tanto, la suma de Riemann por la derecha para este ejemplo es 35.

Diferencias entre Sumas de Riemann

Es importante entender las variaciones entre las sumas de Riemann. Dependiendo de si estamos evaluando la función en el extremo izquierdo, derecho o en el punto medio, los resultados pueden variar. Sin embargo, a medida que el número de subintervalos ( n ) incrementa, las diferencias entre las diversas sumas de Riemann se reducen.

Utilidades y Aplicaciones

Las sumas de Riemann no solo facilitan el cálculo del área bajo una curva, sino que también se usan en diversas aplicaciones de la física, la ingeniería y la economía. Por ejemplo, en la física se puede usar para determinar el trabajo hecho por una fuerza variable.

Finalmente

Las sumas de Riemann son herramientas poderosas para la aproximación de integrales definidas. A través de ejercicios prácticos se puede ver cómo se aplican en diversos contextos y entender mejor cómo aproximan el área bajo una curva. Con una práctica adecuada, es posible dominar este concepto y utilizarlo eficientemente en el cálculo integral.