Teorema de pitagoras ejercicios resueltos

Descripción General

El teorema de Pitágoras es uno de los conceptos fundamentales en matemáticas, específicamente en la geometría euclidiana. Su ecuación básica a² + b² = c² relaciona los lados de un triángulo rectángulo. Aquí, a y b son los catetos, mientras que c es la hipotenusa.

Teoría del Teorema de Pitágoras

El teorema establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los demás lados:

Fórmula del Teorema de Pitágoras

Matemáticamente, esto se expresa como:

a² + b² = c²

Donde:

• a y b son los catetos del triángulo.
• c es la hipotenusa.

Conceptos Básicos

Antes de abordar ejercicios, es fundamental entender ciertos conceptos que se utilizan frecuentemente:

• Triángulo rectángulo: Un triángulo que tiene un ángulo de 90 grados.
• Cateto: Cada uno de los dos lados menores de un triángulo rectángulo.
• Hipotenusa: El lado opuesto al ángulo recto, y el lado más largo.

Ejemplo 1: Cálculo de la Hipotenusa

Enunciado

Dado un triángulo rectángulo con catetos de 3 cm y 4 cm, determina la longitud de la hipotenusa.

Solución

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

3² + 4² = c²

9 + 16 = c²

25 = c²

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados para encontrar c:

c = √25 = 5

Entonces, la hipotenusa mide 5 cm.

Ejemplo 2: Cálculo de un Cateto

Enunciado

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 13 cm y uno de los catetos mide 5 cm. Encuentra la longitud del otro cateto.

Solución

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

5² + b² = 13²

25 + b² = 169

b² = 169 - 25

b² = 144

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados para encontrar b:

b = √144 = 12

Entonces, el otro cateto mide 12 cm.

Ejemplo 3: Aplicaciones en la Vida Real

Enunciado

Un carpintero está construyendo una rampa de acceso. La rampa tiene que elevarse 3 metros y tiene que tener una longitud de base de 4 metros. ¿Cuál sería la longitud de la rampa?

Solución

Usamos el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la rampa, que es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por la elevación y la base.

3² + 4² = c²

9 + 16 = c²

25 = c²

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados para encontrar c:

c = √25 = 5

Entonces, la longitud de la rampa es de 5 metros.

Ejemplo 4: Lado Faltante en Triángulos Rectángulos

Enunciado

Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 10 cm y un cateto de 6 cm. Calcula la longitud del otro cateto.

Solución

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

a² + 6² = 10²

a² + 36 = 100

a² = 100 - 36

a² = 64

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados para encontrar a:

a = √64 = 8

Por lo tanto, el otro cateto mide 8 cm.

Ejemplo 5: Distancias en el Plano Cartesiano

Enunciado

Encuentra la distancia entre los puntos (1, 2) y (4, 6) en el plano cartesiano.

Solución

Usamos la fórmula de distancia entre dos puntos, que se deriva del teorema de Pitágoras:

Distancia = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

Sustituimos:

Distancia = √[(4 - 1)² + (6 - 2)²]

Distancia = √[3² + 4²]

Distancia = √[9 + 16]

Distancia = √25

Distancia = 5

Entonces, la distancia entre los puntos es 5 unidades.

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