Trinomio de la forma ax2 bx c ejercicios resueltos

El arte de resolver ecuaciones cuadráticas es una habilidad fundamental en matemáticas. Una de las formas más comunes de estas ecuaciones es el Trinomio de la Forma ax² + bx + c. A lo largo de este artículo, vamos a explorar este concepto en profundidad, así como a resolver algunos ejercicios representativos.

Concepto del Trinomio de la Forma ax² + bx + c

El trinomio de la forma ax² + bx + c es una expresión algebraica de segundo grado donde a, b y c son constantes y a no es igual a cero. La estructura general de este trinomio es:

ax² + bx + c

Donde:

• a representa el coeficiente cuadrático.
• b es el coeficiente lineal.
• c es el término constante.

Factorización del Trinomio

Uno de los métodos más comunes para resolver un trinomio de la forma ax² + bx + c es la factorización. El objetivo es expresarlo como el producto de dos binomios. Este proceso incluye:

• Encontrar dos números que multiplicados den ac y sumados den b.
• Reescribir el término central bx usando los dos números encontrados.
• Agrupar y factorizar por separado.

Ejemplo de Factorización

Consideremos el trinomio: 2x² + 5x + 3. Vamos a factorizarlo siguiendo los pasos mencionados:

2x² + 5x + 3

1. Multiplicamos a y c: (2 times 3 = 6).
2. Buscamos dos números que multiplicados den 6 y sumados den 5. Estos números son 2 y 3.
3. Reescribimos (5x) como (2x + 3x):

   2x² + 2x + 3x + 3

4. Agrupamos y factorizamos:

   (2x² + 2x) + (3x + 3) = 2x(x + 1) + 3(x + 1)

5. Factor común: ( (x + 1)(2x + 3) ).

Por lo tanto, la factorización de 2x² + 5x + 3 es (x + 1)(2x + 3).

Teorema del Trinomio Cuadrado Perfecto

Algunas veces, los trinomios son cuadrados perfectos. Un trinomio cuadrado perfecto es de la forma:

((ax + b)² = a²x² + 2abx + b²)

Para identificar y resolver estos trinomios es útil recordar lo siguiente:

• El primer término es el cuadrado de un binomio.
• El último término es un cuadrado perfecto.
• El término del medio es el doble producto de los términos correspondientes.

Ejemplo de Trinomio Cuadrado Perfecto

Consideremos el trinomio: 4x² + 12x + 9

        4x² + 12x + 9
        = (2x)² + 2(2x)(3) + 3²
        = (2x + 3)²
    

Así, la factorización es (2x + 3)².

Fórmula General

Cuando la factorización no es evidente, podemos usar la fórmula general para resolver el trinomio ax² + bx + c. La fórmula es:

[ x = frac{-b pm sqrt{b² - 4ac}}{2a} ]

Esta fórmula nos permite encontrar las soluciones (raíces) de la ecuación cuadrática.

Ejemplo con la Fórmula General

Resolvamos la ecuación 2x² + 4x - 6 = 0 usando la fórmula general.

Identificamos los coeficientes:

• a = 2
• b = 4
• c = -6

Sustituimos en la fórmula:

        x = frac{-4 pm sqrt{4² - 4(2)(-6)}}{2(2)}
          = frac{-4 pm sqrt{16 + 48}}{4}
          = frac{-4 pm sqrt{64}}{4}
          = frac{-4 pm 8}{4}
    

Obtenemos dos soluciones:

• Solución 1: x = 1
• Solución 2: x = -2.5

Descomposición de Factores

El método de descomposición de factores es otro enfoque para resolver trinomios. En este método, buscamos dos números que multiplicados den a times c y sumados den b. Luego descomponemos el trinomio en cuatro términos y factorizamos por agrupación.

Ejemplo de Descomposición de Factores

Consideremos el trinomio: 6x² + 13x + 6

        6x² + 13x + 6
    

1. Multiplicamos a y c: (6 times 6 = 36).
2. Buscamos dos números que multiplicados den 36 y sumados den 13. Estos números son 9 y 4.
3. Reescribimos (13x) como (9x + 4x):

   6x² + 9x + 4x + 6

4. Agrupamos y factorizamos:

   (6x² + 9x) + (4x + 6) = 3x(2x + 3) + 2(2x + 3)

5. Factor común: (2x + 3)(3x + 2).

Por lo tanto, la factorización de 6x² + 13x + 6 es (2x + 3)(3x + 2).

Polinomios Irreducibles

No todos los trinomios de la forma ax² + bx + c pueden ser factorizados en el dominio de los números reales. A veces, los polinomios son irreducibles. Esto ocurre cuando el discriminante (b² - 4ac) es menor que cero.

Ejemplo de Polinomio Irreducible

Consideremos el trinomio: x² + x + 1

        x² + x + 1
    

Calculamos el discriminante:

        b² - 4ac = 1² - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3
    

Como el discriminante es menor que cero, el trinomio x² + x + 1 es irreducible en los números reales.

Práctica con Ejercicios

Para dominar el trinomio de la forma ax² + bx + c, es esencial practicar con diversos ejercicios.

Ejercicio 1

Factorizar el trinomio: 3x² - 5x + 2

Resolución:

        3x² - 5x + 2
    

1. Multiplicamos a y c: (3 times 2 = 6).
2. Buscamos dos números que multiplicados den 6 y sumados den -5. Estos números son -2 y -3.
3. Reescribimos (-5x) como (-2x - 3x):

   3x² - 2x - 3x + 2

4. Agrupamos y factorizamos:

   (3x² - 2x) - (3x - 2) = x(3x - 2) - 1(3x - 2)

5. Factor común: (3x - 2)(x - 1).

La factorización es (3x - 2)(x - 1).

Ejercicio 2

Resolver la ecuación cuadrática usando la fórmula general: 5x² + 6x - 8 = 0

Resolución:

Identificamos los coeficientes:

• a = 5
• b = 6
• c = -8

Sustituimos en la fórmula:

        x = frac{-6 pm sqrt{6² - 4(5)(-8)}}{2(5)}
          = frac{-6 pm sqrt{36 + 160}}{10}
          = frac{-6 pm sqrt{196}}{10}
          = frac{-6 pm 14}{10}
    

Obtenemos dos soluciones:

• Solución 1: x = frac{8}{10} = 0.8
• Solución 2: x = frac{-20}{10} = -2

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